SZZ Bc. dvouobory (A7)

1. Pro studenty
2. Státní závěrečná zkouška
3. SZZ Bc. dvouobory (A7)

Okruhy požadavků k SZZ bakalářského studia Matematiky (ver. A7)

(To jsou ti, kteří měli předmět Geometrie I.)

Matematika (dvouoborové)

Algebra

• Vektorové prostory, podprostory, lineární závislost a nezávislost, báze, dimenze.
• Matice a determinanty, jejich užití pro řešení soustav lineárních rovnic.
• Relace, ekvivalence, uspořádané množiny, svazy.
• Grupoidy a monoidy, grupy, podgrupy a normální podgrupy, Lagrangeova věta, cyklické grupy, permutační grupy.
• Okruhy a ideály, obory integrity, tělesa.
• Dělitelnost v oborech integrity, Gaussovy a Euklidovy obory.
• Okruhy polynomu, kořeny polynomu.
• Přirozená čísla a Peanova aritmetika.
• Konstrukce celých, racionálních, reálných a komplexních čísel.

 

Geometrie

• Afinní prostor, zaměření afinního prostoru. Podprostory a jejich vzájemná poloha, zvláště vzájemná poloha přímek a rovin
• Lineární soustava souřadnic, parametrické vyjádření podprostoru. Obecná rovnice přímky v rovině a roviny v trojrozměrném prostoru
• Lineární kombinace bodů, konvexní a nekonvexní množiny bodů
• Skalární součin na vektorovém prostoru nad R. Vektorový a vnější součin
• Euklidovský prostor, kolmost podprostorů, zvláště přímek a rovin. Vzdálenost bodů a podprostorů
• Afinní zobrazení, asociované zobrazení. Analytické vyjádření afinního zobrazení
• Samodružné body a samodružné směry afinního zobrazení
• Posunutí a stejnolehlost, osové afinity
• Shodná zobrazení, podobná zobrazení. Souměrnosti
• Definice a ohniskové vlastnosti kuželoseček, střed, osy, tečna kuželosečky, asymptoty
• Parametrické vyjádření křivky, tečna, inflexní bod, oskulační rovina. Délka oblouku křivky, oblouk jako parametr. Křivost a oskulační kružnice křivky
• Parametrické vyjádření plochy, výpočet povrchu plochy. Asymptotické a geodetické křivky na ploše. Rotační a přímkové plochy, užití v technické praxi. Kartografické zobrazení kulové plochy do roviny

 

Matematická analýza

 

• Zavedení reálných čísel a jejich vlastnosti (algebraické, vzhledem k uspořádání). Konvergence posloupností na množině reálných čísel, její vlastnosti, cauchyovské posloupnosti, Bolzanova-Weierstrassova věta. Řady reálných čísel a jejich konvergence, kritéria konvergence (odmocninové, podílové,Leibnizovo, integrální), absolutní konvergence.
• Reálné funkce reálné proměnné a jejich vlastnosti (monotonie, konvexita, periodicita). Limity a spojitost reálných funkcí reálné proměnné, jejich vlastnosti vzhledem k aritmetickým operacím a vzhledem k uspořádání, skládání, inverzi, Bolzanova věta o obrazech intervalů, Weierstrassova věta o dosahování extrémů.
• Derivace reálných funkcí reálné proměnné, její geometrický význam a vlastnosti (aritmetické operace), souvislost derivace s monotonií, konvexitou, extrémy, Rolleova věta, Lagrangeova věta o střední hodnotě.
• Použití derivací (průběh funkce, L'Hospitalovo pravidlo, Taylorovy polynomy).
• Primitivní funkce, jejich vlastnosti a existence, substituce, per partes, primitivní funkce k racionálním funkcím a funkcím na racionální funkce převoditelné.
• Newtonův a Riemannův integrál, výpočty pomocí substituce a integrování po částech, přibližné výpočty integrálů (obdélníková a lichoběžníková metoda, Simpsonova metoda).
• Použití integrálů v geometrii (obsahy, objemy, délky a povrchy) a ve fyzice (hmotnost, těžižtě, práce).
• Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu (se separovanými proměnnými, homogenní, lineární) a 2. řádu (lineární s konstantními koeficienty). Použití diferenciálních rovnic.

 

Matematika se zaměřením na vzdělávání (dvouoborové)

Algebra

• Vektorové prostory, podprostory, lineární závislost a nezávislost, báze, dimenze.
• Matice a determinanty, jejich užití pro řešení soustav lineárních rovnic.
• Relace, ekvivalence, uspořádané množiny, svazy.
• Grupoidy a monoidy, grupy, podgrupy a normální podgrupy, Lagrangeova věta, cyklické grupy, permutační grupy.
• Okruhy a ideály, obory integrity, tělesa.
• Dělitelnost v oborech integrity, Gaussovy a Euklidovy obory.
• Okruhy polynomu, kořeny polynomu.
• Přirozená čísla a Peanova aritmetika.
• Konstrukce celých, racionálních, reálných a komplexních čísel.

 

Geometrie

• Afinní prostor, zaměření afinního prostoru. Podprostory a jejich vzájemná poloha, zvláště vzájemná poloha přímek a rovin
• Lineární soustava souřadnic, parametrické vyjádření podprostoru. Obecná rovnice přímky v rovině a roviny v trojrozměrném prostoru
• Lineární kombinace bodů, konvexní a nekonvexní množiny bodů
• Skalární součin na vektorovém prostoru nad R. Vektorový a vnější součin
• Euklidovský prostor, kolmost podprostorů, zvláště přímek a rovin. Vzdálenost bodů a podprostorů
• Afinní zobrazení, asociované zobrazení. Analytické vyjádření afinního zobrazení
• Samodružné body a samodružné směry afinního zobrazení
• Posunutí a stejnolehlost, osové afinity
• Shodná zobrazení, podobná zobrazení. Souměrnosti
• Definice a ohniskové vlastnosti kuželoseček, střed, osy, tečna kuželosečky, asymptoty
• Mocnost bodu ke kružnici, chordála a chordální střed. Kruhová inverze. Stereografická projekce
• Axiomatické vybudování geometrie, modely Lobačevského geometrie
• Volné rovnoběžné promítání. Mongeova projekce. Kótované promítání.

 

Matematická analýza

• Zavedení reálných čísel a jejich vlastnosti (algebraické, vzhledem k uspořádání). Konvergence posloupností na množině reálných čísel, její vlastnosti, cauchyovské posloupnosti, Bolzanova-Weierstrassova věta. Řady reálných čísel a jejich konvergence, kritéria konvergence (odmocninové, podílové,Leibnizovo, integrální), absolutní konvergence.
• Reálné funkce reálné proměnné a jejich vlastnosti (monotonie, konvexita, periodicita). Limity a spojitost reálných funkcí reálné proměnné, jejich vlastnosti vzhledem k aritmetickým operacím a vzhledem k uspořádání, skládání, inverzi, Bolzanova věta o obrazech intervalů, Weierstrassova věta o dosahování extrémů.
• Derivace reálných funkcí reálné proměnné, její geometrický význam a vlastnosti (aritmetické operace), souvislost derivace s monotonií, konvexitou, extrémy, Rolleova věta, Lagrangeova věta o střední hodnotě.
• Použití derivací (průběh funkce, L'Hospitalovo pravidlo, Taylorovy polynomy).
• Primitivní funkce, jejich vlastnosti a existence, substituce, per partes, primitivní funkce k racionálním funkcím a funkcím na racionální funkce převoditelné.
• Newtonův a Riemannův integrál, výpočty pomocí substituce a integrování po částech, přibližné výpočty integrálů (obdélníková a lichoběžníková metoda, Simpsonova metoda).
• Použití integrálů v geometrii (obsahy, objemy, délky a povrchy) a ve fyzice (hmotnost, těžižtě, práce).
• Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu (se separovanými proměnnými, homogenní, lineární) a 2. řádu (lineární s konstantními koeficienty). Použití diferenciálních rovnic.